Введение в цифровую электронику Магнитные цепи Полупроводниковые приборы Передача дискретных сигналов Выражение мощности в комплексной форме Резонанс напряжений Преобразователи напряжения Сглаживающие фильтры

Расчетные задания курсовой по электронике и электротехнике

Комплексное сопротивление

 Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме - Z.

 Хорошо известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то:

Но в предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому:

  (3.1)

Таким образом, видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между током и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

 Комплексное сопротивление емкости определяется отношением:

 . (3.2)

 Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее математическим значением:

 Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

 Коэффициент 1/ определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается ХС, т.е.:

  . (3.3)

 Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением:

 . (3.4)

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90о.

Коэффициент wL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.:

 . (3.5)

 Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность - реактивными элементами цепи.

Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивные элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый

контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа:

 . (3.6)

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток, протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду:

 Преобразуем это выражение к виду:

.

 По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.:

   (3.7)

где R - действительная часть или активное сопротивление цепи.

 - мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

  Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится

понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

В треугольнике - гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем: 

 . (3.8)

Прилежащий к острому углу  катет – активным сопротивлением цепи R, причем:

   (3.9)

 Противолежащий катет - реактивным сопротивлением Х, причем:

  (3.10)

  Угол определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем:

 . (3.11) 

 

 Учитывая выражения (3.8) ¸ (3.11), легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления:

  Z =Z (3.12)

a применив формулу Эйлера получить показательную форму:

 Z =Z  (3.13)

 Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении:

  (3.14)

 Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение:

 . (3.15)

Комплексная проводимость

  В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:

Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению.

  В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:

 Как и в цепях постоянного тока, комплексная проводимость участка цепи обратна комплексному сопротивлению, т.е.

Отсюда

  ,  ,   , (3.16)

где У - модуль комплексной проводимости.

 Соотношение между составляющими комплексной проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления.

 Комплексная проводимость резистора:

   (3.17)

Комплексная проводимость конденсатора:

  (3.18)

Комплексная проводимость индуктивности:

  (3.19)

 В заключение отметим, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость - для участков с параллельным включением элементов.


cuddy cabin boat brands, a