Введение в цифровую электронику Магнитные цепи Полупроводниковые приборы Передача дискретных сигналов Выражение мощности в комплексной форме Резонанс напряжений Преобразователи напряжения Сглаживающие фильтры

Расчетные задания курсовой по электронике и электротехнике

Комплексное изображение синусоидального тока.

 Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического к комплексному представлению, заменим оси декартовой системы координат (рис.2.2) следующим образом:

-ось Х на ось действительных чисел Re;

-ось Y на ось мнимых чисел Jm (рис.2.4).

 При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. . Угол наклона вектора к оси реальных чисел Re в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j.

 Обозначим проекцию вектора  на ось реальных чисел i/ = Im×cosj, а проекцию  на ось мнимых чисел = Im× sin j.  Тогда очевидно, что:

 , (2.5)

 где j - мнимая единица, причем  -  

 Выражение (2.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений).

 Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить действительные и мнимые числа.

 Подставим в (2.5) вместо  и  их значения. Тогда получим:

 İ, (2.6)

где  - модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.

 Выражение (2.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Из рис. 2.4 очевидно, что:

 , а . (2.7)

 Видим, что выражения (2.7) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду  и начальную фазу j. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.

 Введем в (2.5) зависимость от времени. Тогда:

 İ, (2.8)

где  

 Теперь очевидно, что реальная часть (2.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, мнимая часть - это же колебание в синусной форме.

  С помощью формулы Эйлера от (2.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока:

 İ, (2.9)

а с учетом зависимости от времени:

  İmİm. (2.10)

 Комплексная показательная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (2.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

 Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем:

İİ

  Для элемента с активным сопротивлением справедливо равенство:

.

 Перепишем это равенство в показательной форме:

  (2.11)

 Но равенство (2.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени, Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 2.5).

 Для элемента обладающего емкостью известно выражение:

 Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения получим:

.

 Учитывая, что   приходим к выражению:

,

или:

 Таким образом, видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90о (см. рис.2,6)

 Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выражением (1.11). Тогда:

или:

  (2.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90о (см. рис. 2.7).

 В заключение лекции отметим что выражения (2.11), (2.12) и (2.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами. Именно поэтому комплексное представление широко используется при анализе электрических цепей переменного тока.