Дифференциальные уравнения
1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
составляют характеристическое уравнение
.
Общее решение имеет вид:
1) 
, если корни 
и 
действительны и различны;
2) 
, если 
(корень кратности 2);
3) 
если корни комплексные 
2. Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами
то
его общее решение 
Окончание прил. 2
где 
- общее решение соответствующего однородного уравнения;
- частное решение неоднородного
уравнения.
Если 
, где 
- многочлен степени m, то следует искать в виде
где
S - показатель кратности корня 
в характеристическом уравнении (если не является корнем характеристического
уравнения, 
); 
- многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами,
чем ).
Если же 
то следует
искать в виде
где
- показатель кратности корня 
в характеристическом уравнении (если
не является корнем характеристического уравнения, ).
2. Образцы решения типовых заданий.
ПРИМЕР
1. Найдите предел
Решение.
Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:
.
(Так как при 
выражение 
стремится к нулю по свойству показательной функции с
основанием 0<a<1).
ПРИМЕР 2. Найдите предел 
Решение.
Имеем неопределённость
вида 
. Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель
на 
:
.
ПРИМЕР
3. Найдите предел 
.
Решение.
Имеем неопределённость
вида 
. Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках
на сопряженное ему выражение 
. Получим:
.
ПРИМЕР 4. Найти предел 
Решение.
Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;
.
ПРИМЕР
5. Найти предел
.
хà¥
Решение.
Имеем
неопределённость вида 
. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом,
преобразуем данную функцию:
.
ПРИМЕР
6. Продифференцировать функцию: 
.
Решение.
Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:
.
ПРИМЕР
7. Найти производную функции, заданной неявно: 
.
Решение.
Дифференцируем данную функцию по х:
,
откуда 
ПРИМЕР
8. Найти производную 
от функции, заданной параметрически: 
.
Решение.
.
Задача Указать вид частного
решения дифференциального уравнения 
ПРИМЕР. Найти область определения
функции 
ПРИМЕР. Найти неопределённый
интеграл 
.
Задача . Вычислить 
Решение. Для
вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь –
в сумму простейших дробей. Множителю 
соответствует сумма двух простейших дробей 
, а множителю 
- дробь 
.
Задача . Определить, какие
ряды сходятся: А) 
Б) 
В) 
Задача. Найти коэффициенты
разложения в ряд Фурье по синусам функции 
.