Дифференциальные уравнения
1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
составляют характеристическое уравнение
.
Общее решение имеет вид:
1)
, если корни
и
действительны и различны;
2)
, если
(корень кратности 2);
3)
если корни комплексные
2. Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами
то его общее решение
Окончание прил. 2
где
- общее решение соответствующего однородного уравнения;
- частное решение неоднородного уравнения.
Если
, где
- многочлен степени m, то
следует искать в виде
где S - показатель кратности корня
в характеристическом уравнении (если
не является корнем характеристического уравнения,
);
- многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем
).
Если же
то
следует искать в виде
где
- показатель кратности корня
в характеристическом уравнении (если
не является корнем характеристического уравнения,
).
2. Образцы решения типовых заданий.
ПРИМЕР 1. Найдите предел
Решение.
Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:
![]()
.
(Так как при
выражение
стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).
ПРИМЕР 2. Найдите предел
Решение.
Имеем неопределённость вида
. Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на
:
.
ПРИМЕР 3. Найдите предел
.
Решение.
Имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение
. Получим:
.
ПРИМЕР 4. Найти предел
![]()
Решение.
Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;
.
ПРИМЕР 5. Найти предел
.
хà¥
Решение.
Имеем неопределённость вида
. Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:
.
ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию:
.
Решение.
Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:
.
ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение.
Дифференцируем данную функцию по х:
, откуда
![]()
ПРИМЕР 8. Найти производную
от функции, заданной параметрически:
.
Решение.
.
Задача Указать вид частного решения дифференциального уравнения
![]()
ПРИМЕР. Найти область определения функции
ПРИМЕР. Найти неопределённый интеграл
.
Задача . Вычислить
Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю
соответствует сумма двух простейших дробей
, а множителю
- дробь
.
Задача . Определить, какие ряды сходятся: А)
Б)
В)
Задача. Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции
.
На главную |