Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Цилиндрическая и сферическая системы координат Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

составляют характеристическое уравнение

.

Общее решение имеет вид:

1) , если корни  и  действительны и различны;

2) , если  (корень кратности 2);

3)  если корни комплексные

2. Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

то его общее решение

Окончание прил. 2

где  - общее решение соответствующего однородного уравнения;
 - частное решение неоднородного уравнения.

 Если , где - многочлен степени m, то  следует искать в виде

где S - показатель кратности корня  в характеристическом уравнении (если  не является корнем характеристического уравнения, ); - многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем ).

 Если же

то следует искать в виде

где - показатель кратности корня  в характеристическом уравнении (если   не является корнем характеристического уравнения, ).

2. Образцы решения типовых заданий.

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:

  .

(Так как при  выражение  стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

 

ПРИМЕР 4. Найти предел  

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел.

 хà¥

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда  

 

ПРИМЕР 8. Найти производную  от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

Задача Указать вид частного решения дифференциального уравнения  

ПРИМЕР. Найти область определения функции

ПРИМЕР. Найти неопределённый интеграл .

Задача . Вычислить Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю  - дробь .

Задача . Определить, какие ряды сходятся: А)   Б)  В)

Задача. Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции .


На главную