Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Цилиндрическая и сферическая системы координат Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения Дифференциальные уравнения

Курс лекций по математике интегрирование Линейная алгебра Аналитическая геометрия

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x Î (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F¢(x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

 Пример 1. Функция ln(x + ) есть первообразная для функции 1 / на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + ))¢ = 1 /. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | Î С(–1, 1) и |х |¢ = sign x, х ¹ 0.

 Соотношение F¢(x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно. Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

  Пример 2. а) (cos 2x)¢ = –2sin 2x,

(–2sin2x) ¢ = –4sin x cos x = –2sin 2x;

 

б) ,

  .

 Основным свойством первообразной является следующее: если F(х) и G(x) – первообразные для одной и той же функции f(x) на одном и том же промежутке, то F(х) - G(x) = const.

 Определение. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается (промежуток (a, b) – обычно это промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается).

  Следовательно, если F(х) есть первообразная для f(x) на (a, b), то .

  Пример 3. Найдем точную первообразную для функции f(x) = е|x| на всей числовой прямой.

 Решение. При х ³ 0 имеем е|x|= ех, и для этой функции в области G = {x; x Î R, x > 0} одна из первообразных будет ех. При х < 0 имеем е|x|= е–х, для этой функции в области х < 0 первообразной будет функция (–ех + k) при любой постоянной k. Так как первообразная функция е|x| по определению должна быть функцией непрерывной, то должно выполняться условие  , т.е. 1 = –1 + k, откуда k = 2.

Итак, функция

 

является непрерывной на всей числовой оси. Для х > 0 имеем F¢(x) = е–х = е|x|. Докажем, что эта функция будет точной первообразной для функции е|x| на всей числовой прямой. Для этого осталось проверить, что F¢(0) = е0 = 1.

Имеем

т.е.

F¢+(0) = F¢–(0) = F¢(0) = 1 = е| 0|.

Следовательно, можно записать

  Доказывается, что любая непрерывная на [a, b] функция имеет на (a, b) точную первообразную, но в отличии от производной первообразная элементарной функции не всегда представляется элементарной функцией, например, первообразные для функций

 Основные свойства неопределенного интеграла

Таблица простейших интегралов

  Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подинтегрального выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы («табличные интегралы»).

Пример. В разложении  найти члены, содержащие xg. т=9, g=6.

Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисованть также орграф , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.

Правила вычисления неопределенных интегралов

Замена переменного Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так: .


На главную