Поверхностный интеграл первого рода по площади поверхности Интегрирование по частям Понятие о комплексных числах Определённый интеграл Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы Вычисление объемов тел

Курс лекций по математике интегрирование Линейная алгебра Аналитическая геометрия

Раскрытие неопределенностей.

Правило Лопиталя.

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Поверхность задана уравнением z = + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

 Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

 Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

;

Пример: Найти предел .

;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

 Пример: Найти предел .

;

;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

 Пример: Найти предел .

;

 - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;

 - применяем правило Лопиталя еще раз.

;

;

Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

 Пример: Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно 

 Пример: Найти предел .

- получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

;

10.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

10.6. Общие правила нахождения высших производных.

  Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

(Сu)(n) = Cu(n);

(u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

 Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.


На главную