Типовые примеры по математике и их решения

Математика Типовые примеры и их решения Электротехника Реакторы Курсовые Инженерная графика Машиностроительное черчение Дизайн Билеты по истории искусства

Введение в цифровую электронику
Магнитные цепи
Полупроводниковые приборы
Передача дискретных сигналов
Предмет и задачи курса электрических цепей
  • Электротехника и электроника
  • Важнейшие физические величины в электрических
    цепей
  • Градиент физической величины
  • Основные методы и понятия электрических цепей
  • Классификация электрических цепей.
  • Цепи с сосредоточенными параметрами
  • Двухполюсные элементы
  • Резистор
  • Законы Ома и Кирхгофа
  • Энергетический баланс в электрических цепях
  • Элементы электрической цепи переменного тока
  • Конденсатор  в цепи синусоидального тока
  • Символический метод
  • Применение векторных диаграмм при расчете
  • Активная, реактивная и полная мощности
  • Выражение мощности в комплексной форме
    записи
  • Цепи с распределенными параметрами
  • Линия с потерями. Телеграфное уравнение
  • Резонансные трансформаторы сопротивления
  • Электрические фильтры
  • Фильтры верхних частот 
  • Полосовые и заградительные фильтры
  • Трансформаторы
  • КПД трансформатора
  • Схема расчета трансформатора
  • Переходные процессы в линейных
    электрических цепя
  • «Разряд» катушки индуктивности на резистор
  • Включение цепочки RL на синусоидальное
    напряжение
  • Включение цепочки RC на постоянное
    напряжение
  • Общие свойства четырехполюсников
  • Общий принцип действия и конструкции
    электрических машин
  • Способ получения переменного тока
  • Трехфазный ток
  • Принцип работы асинхронного двигателя
  • Преимущества трехфазных систем
  • Соединение нагрузки треугольником
  • Трехфазные цепи при наличии взаимоиндукции
  • Современная полупроводниковая электроника
  • Выпрямительный полупроводниковый диод
  • Варика
  • Полупроводниковые транзисторы
  • Тиристор
  • Электронные усилители
  • Двухтактный усилитель мощности
  • Эмиттерный повторитель
  • Усилители постоянного тока
  • Мультивибратор
  • Генерирование электрических колебаний
  • Импульсные и цифровые устройства
  • Диодные ключи
  • Дешифраторы и шифраторы
  • Компараторы и триггеры Шмитта
  • Мультивибраторы
  • Усилители постоянного тока (УПТ)
  •  

    Определенный интеграл от ограниченной функции Вычислить определенные интегралы по определению

    Вычисление определенных интегралов из геометрических соображений

    Функция задана параметрическими уравнениями

    Вычисление площадей Вычислить площадь фигуры ограниченной эвольвентой круга, заданной уравнениями: .

    Длина дуги плоской кривой Вычислить длину дуги кривой  от точки  до точки .

    Объемы тел вращения Вычислить объем эллипсоида вращения вокруг оси Ох.

    Физические приложения определённого интеграла Вычисление статических моментов

    Вычисление координат центра тяжести. Теоремы Гюльдена Найти координаты центра тяжести цепной линии  между  и .

    Задачи на нахождение работы и давления Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды.

    Однородные дифференциальные уравнения

    Уравнение Бернулли

    Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка. Определить тип дифференциального уравнения и указать в общем виде метод его решения:

    Пример. Решить задачу Коши .

    Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

    Пример 19. Решить методом Коши .

    По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его. Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.

    Геометрические приложения. В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной  t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

    Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его. На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое?

    Типовые примеры и их решения

    Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

    Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

    Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

    Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

    Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

    Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

    Криволинейные и поверхностные интегралы

    Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

    Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

    Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

    Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

    Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

    Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

    Основы векторной алгебры

    В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

    Скалярное произведение векторов

    Векторное и смешанное произведения векторов

    Примеры решения типовых задач: векторная алгебра Задача Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

    Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

    Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

    Уравнение плоскости

    Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений:

    Кривые второго порядка

    Пример выполнения контрольной работы Задание Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

    Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

    Примеры решения типовых задач: матрицы

    Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений.

    Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Пример выполнения контрольной работы Задание Выполнить действия с матрицами

    Введение в численные методы. Основные понятия Интерполяция и квадратурные формулы

    Контрольная работа №1 Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

    Контрольная работа №2 Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

    Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

    Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика

    РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Упражнение. Найти указанные пределы

    Решение типового варианта контрольной работы. Пример Исследовать на сходимость числовые ряды

    Пример 3. Вычислить с точностью  интеграл . Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена:

    Задачи из раздела Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

    Задача. Решить систему уравнений: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) методом обратной матрицы (для проверки вычислений обратной матрицы воспользоваться ее определением).

    Задачи из раздела Дифференциальное и интегральное исчисление Задача. Вычислить пределы данных функций.

    Задача 3. Найти неопределенный интеграл

    Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

    Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3). Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

    Элементы линейной алгебры Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы

    Введение в анализ Задача 6. Вычислить пределы:

    Производная и дифференциал Задача 8. Найдите производные функции

    Приложения производной Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

    Определенный интеграл Задача . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4х, у=х+4

    Дифференциальные уравнения Задача. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

     Задача . Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

    Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9.Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

    Случайные величины и их числовые характеристики Задача. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

    Элементы линейного программирования Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

    Приложение двойного интеграла

    Криволинейный интеграл II рода. Пусть во всех точках дуги AB плоской гладкой кривой L определена функция двух независимых переменных .

    Формула Грина. Криволинейный интеграл второго рода по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D, может быть преобразован в двойной интеграл по области D ограниченной этим контуром L по формуле Грина.

    Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

    Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

    Методом интегрирования по частям

    Интегрирование рациональных функций

    Интегрирование некоторых иррациональных функций

    Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

    Пример 40. Вычислить интеграл Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых

    Пример 45. Вычислить интеграл

    Вычисление площадей плоских фигур.

    Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

    Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

    Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом  вокруг оси

    [an error occurred while processing this directive]